ECUACIONES DE 1º GRADO.
LENGUAJE ALGEBRAICO.
Llamado también lenguaje matemático. Supone el uso del código matemático en la expresión de realidades. Usa signos de operaciones, números y letras.
Ejemplo:
“el doble de un número” = 2x , “el triple de un número” = 3x, etc...
“el cuádruplo de un número más tres unidades” = 4x + 3
“la mitad de un número” = x/2, “la tercera parte de un número” = x/3, etc...
“igual, como, es,” se escribirían “=“
“más” se escribiría “+” y “menos” se escribiría “--”
“la suma de tres números consecutivos” se escribiría “x + x+1 + x+2”
IGUALDADES NUMERICAS Y LITERALES.
Una igualdad es una expresión matemática formada por dos miembros unidos por un signo “=“.
Si la igualdad está formada por números se llamará “numérica”, y si está formada por letras y números se denominará “literal”.
En las igualdades numéricas las letras se denominan “incógnitas” (ya que su valor es desconocido o puede variar) y los números “constantes” (ya que su valor es fijo).
IDENTIDADES Y ECUACIONES.
Hay dos tipos de igualdades literales:
a) Identidades. Son aquellas igualdades que se cumplen con cualquier valor de la incógnita
b) Ecuaciones. Son aquellas igualdades que se cumplen únicamente cuando la incógnita toma un determinado valor.
Ejemplos:
2x = x + x . Es una identidad, se cumple con cualquier valor.
2x = 8. Es una ecuación, ya que sólo se cumple si x = 4.
RESOLUCIONES DE ECUACIONES DE 1º GRADO CON UNA INCOGNITA.
Para resolver cualquier ecuación de 1º grado con una incógnita, debemos seguir los pasos siguientes:
1. QUITAR PARENTESIS.
- Si delante del paréntesis hay un signo +, sólo escribimos el contenido del paréntesis.
- Si delante del paréntesis hay un signo -- , se transforma la resta en suma de los opuestos.
- Si hay un número multiplicando al paréntesis, aplicamos la propiedad distributiva (multiplicando signo y número).
2. QUITAR DENOMINADORES.
- Todos los términos deben tener denominador (si no lo tienen partirlos por la unidad)
- Si en el numerador hay más de un término, se mete entre paréntesis.
- Utilizamos el m.c.m. de los denominadores.
3. PASAR INCOGNITAS AL PRIMER MIEMBRO Y CONSTANTES AL SEGUNDO MIEMBRO.
“Lo que ya está en su miembro tiene prioridad y lo que trasponemos le cambiamos el signo”.
4. OPERAR EN AMBOS MIEMBROS PARA REDUCIR.
“Operar para dejar un solo monomio en cada miembro”
5. DESPEJAR LA INCOGNITA.
“Dejarla sola y positiva”
6. HACER LA COMPROBACIÓN.
“Sustituimos dentro de la ecuación todas las incógnitas por el valor obtenido, y hacemos las operaciones para comprobar si se cumple la igualdad”.
ECUACIONES DE 2º GRADO
Una ecuación de segundo grado es un polinomio de segundo grado igualado a cero.
es completa , y donde a=1, b=-5 y c=6.
es completa, y donde a=2, b=-7 y c=3.
es completa, y donde a=1, b=-7 y c=10.
FORMAS DE PRESENTARSE:
A) COMPLETA.
ax2 + bx + c = 0
B) INCOMPLETA:
- SI b = 0. ax2 + c = 0
- SI c = 0. ax2 + bx = 0
- SI b = 0 y c = 0. ax2 = 0
RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN SEGÚN SU FORMA DE PRESENTARSE.
Todas las ecuaciones de segundo grado pueden resolverse usando la fórmula general, aunque por comodidad, en las ecuaciones incompletas usamos un método abreviado.
La fórmula general es la siguiente:
Ejemplos de resoluacion de ecuaciones de 2º grado completas:
es completa , y donde a=1, b=-5 y c=6. es completa, y donde a=2, b=-7 y c=3.Si es a<0, multiplicamos los dos miembros por (−1).
es completa, y donde a=1, b=-7 y c=10.Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas
ax2 = 0
La solución es siempre que la x = 0.
ax2 + bx = 0
Extraemos factor común x:
Igualamos a cero el 1er factor.
Una solución siempre es x = 0.
La otra solución la obtenemos al resolver la ecuación de primer grado resultante de igualar a cero el 2º factor.
ax2 + c = 0
Despejamos:
CÁLCULO DEL NÚMERO DE SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO.
Únicamente tendremos que resolver la expresión b2 - 4ac llamada “discriminante” y:
- si su valor es > 0, tendremos 2 soluciones.
- si su valor es 0, tendremos una única solución.
- y si su valor es < 0, es decir, negativo, la ecuación de 2º grado no tendrá soluciones.
DADAS LAS SOLUCIONES (a1 y a2 ) DE UNA ECUACIÓN DE 2º GRADO, AVERIGUAR DE QUE ECUACIÓN SE TRATA.
Solo tendremos que multiplicar los binomios (x - a1) · (x – a2).
SISTEMA DE DOS ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS.
Son dos ecuaciones que comparten las mismas incógnitas, y forman dos condiciones obligatorias que deben cumplir a la vez los valores de dichas incógnitas.
METODOS DE RESOLUCION NUMERICA:
- REDUCCIÓN.
1º. Multiplicamos o dividimos los coeficientes de una misma incógnita por los factores que interesen de forma que los resultados sean opuestos.
2º Luego se suman las ecuaciones.
3º Se resuelve la ecuación obtenida.
4º Se sustituye el valor obtenido en cualquier ecuación del sistema para obtener el valor de la otra incógnita.
5º Se sustituyen en las dos ecuaciones las dos incógnitas por los valores obtenidos, y se comprueba si se cumplen las dos igualdades.
- IGUALACIÓN.
1º. Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones.
2º. Se igualan las expresiones.
3º Se resuelve la ecuación obtenida.
4º Se sustituye el valor obtenido en cualquier ecuación del sistema para obtener el valor de la otra incógnita.
5º Se sustituyen en las dos ecuaciones las dos incógnitas por los valores obtenidos, y se comprueba si se cumplen las dos igualdades.
- SUSTITUCIÓN.
1º. Se despeja una incógnita en una de las dos ecuaciones (la que nos resulte más fácil).
2º. Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación.
3º Se resuelve la ecuación obtenida.
4º Se sustituye el valor obtenido en cualquier ecuación del sistema para obtener el valor de la otra incógnita.
5º Se sustituyen en las dos ecuaciones las dos incógnitas por los valores obtenidos, y se comprueba si se cumplen las dos igualdades.
MÉTODO DE RESOLUCIÓN GRÁFICA:
- GRÁFICO.
1º Se convierten las dos ecuaciones en dos funciones (despejando normalmente la incógnita “y”).
2º Se representan las dos funciones en los ejes cartesianos.
3º Se buscan las coordenadas sobre los ejes cartesianos del punto donde se cortan las gráficas, siendo estas los valores de las incógnitas “x” e “y”.
4º Se sustituyen en las dos ecuaciones las dos incógnitas por los valores obtenidos, y se comprueba si se cumplen las dos igualdades.
TIPOS DE SISTEMAS:
- DETERMINADO.
Hay una única solución para cada incógnita.
Las gráficas correspondientes a cada ecuación se cortan en un sólo punto.
Ejemplo:
2x + 3y = 7
3x – y = 5
Sus soluciones son x = 2 y = 1; y las gráficas se cortan en el punto (2 , 1).
- INDETERMINADO.
Hay infinitas soluciones para cada incógnita.
Las gráficas correspondientes a cada ecuación son coincidentes.
Ejemplo:
x + y = 7
3x + 3y = 21
Tienen infinitas soluciones, por ejemplo si x = 4, entonces y = 3; si x = 5, entonces y = 2; si x = 9, entonces y = -2, etc. ... ; y las gráficas se superponen una a la otra coincidiendo en todos sus puntos.
- INCOMPATIBLE O IMPOSIBLE.
No hay ningún valor para las incógnitas que hagan que se cumpla la ecuación.
Las gráficas correspondientes a cada ecuación son paralelas.
Ejemplo:
x + y = 7
x + y = 5
No tiene ninguna solución, ya que si se cumple una condición es imposible que se cumpla la otra; y las gráficas son paralelas.
