LAS PROPORCIONES Y EL DIBUJO

A la hora de dibujar podemos utilizar muchas herramientas matemáticas.

Para hacer un dibujo semejante a otro debemos mantener sus proporciones. Tendrán la misma forma pero distinto tamaño.

Aquí vemos unas imágenes que nos pueden ayudar a aprender a dibujar:

Para mantener estas proporciones nos ayudamos de unos rectánguos, cuadrados, círculos que nos facilitaran el trabajo:

Otro elemento de ayuda nos lo describió CEZANNE cuando nos dice que tenemos que tratar todos los elementos de la naturaleza como si fueran poliedros (cubos, prismas, cilindros, esferas, pirámides, etc...).

Y para verlos como cuerpos nos ayudaremos de las sombras propias o proyectadas.

LA PROPORCIONALIDAD EN EL DIBUJO

Los dibujos realistas intentan representar más o menos fielmente la realidad. Para ello deben conservar las mismas proporciones, elaborando imágenes semejantes. Es decir, conservan la misma forma aunque cambien el tamaño.
Aquí tienes un ejemplo fantástico de un retrato hiperrealista. Ha intentado reproducir exactamente la realidad con sus formas, pero también con sus colores, sus brillos y sombras, etc...

Esta obra es una pintura hiperrealista del pintor Eloy Morales

Otros cambian de manera deliberada las proporciones para conseguir darle un sello personal, darle lo que llamaríamos su estilo.

Incluso nos sirve para analizar la madurez de los niños:

¿qué dibujos creen que corresponden a niños o niñas más maduros a los tres años?

Los caricaturistas manejan a su antojo las distintas medidas de los elementos del rostro de un personaje para producir distintas sensaciones. Por ejemplo, aquí se reproducen distintos trabajos de dibujantes que se encargaron de representar al considerado el mejor jugados de todos los tiempos: Lionel Messi.

Te has parado a pensar el por qué se visten así los payasos:

CÁLCULO DEL % MEDIANTE REGLA DE TRES

Un tanto por ciento es...

a) Una fracción             b) Un número decimal            c) Una proporción

Por ejemplo:

El 25% sería...

a) la fracción 25/100 = 1/4

b) el número decimal 0,25

c) la proporción formada por la razón 25/100 ("veinticinco es a cien") y todas las razones que sean equivalentes a ella, por ejemplo 5/20 ("cinco es a veinte") o 1/4 ("uno es a cuatro")



De ahí que calcular el 25% de 600 se podría realizar:

a) Calculando la fracción 25/100 de 600 =

600:100 = 6

6·25 = 150

b) Multiplicando el número decimal 0,25 · 600 = 150

c) Mediante una regla de tres simple directa

Si de 100 ------------------25

de 600 ---------------------x

100/600 = 25/x

100 · x = 25 · 600

100 x = 1500

100x/100 = 1500/100

x= 150

LA REGLA DE TRES

REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA

Un señor ha parado en una gasolinera para repostar. Ha echado 20 litros de gasolina y le han cobrado 30 €, ¿Cuánto habría pagado si hubiera echado 28 litros?

1º Identificamos las dos magnitudes que se están relacionando, la unidad en que están expresadas y nos preguntamos la relación de proporcionalidad que tienen:

                                                                                                     

2º. Formamos la proporción y calculamos el valor de la x (cuarta proporcional).

20/28 = 30/x

20·x = 28·30

20x= 840

20x/20 = 840/20

x = 42 € pagaré

Este problema también lo podemos resolver mediante una tabla:

REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA

Diez trabajadores han realizado un trabajo en 15 días. ¿ Cuánto tardarían en realizar el mismo trabajo 30 trabajadores?

1º Identificamos las dos magnitudes que se están relacionando, la unidad en que están expresadas y nos preguntamos la relación de proporcionalidad que tienen:

                                              

2º. Formamos la proporción invirtiendo sólo la razón de la magnitud 1 y calculamos el valor de la x (cuarta proporcional).

30/10 = 15/x

30·x = 10 · 15

30x= 150

30x/30 = 150/30

x = 5 días tardarán


¡¡¡OJO QUE LA RAZÓN DE LA MAGNITUD 2 DONDE ESTÁ LA X 
NUNCA SE INVIERTE!!!

Este problema también se puede resolver mediante una tabla:

PROPORCIONALIDAD.

Razón.

En matemáticas se llama razón a la división indicada de dos números.

Por ejemplo: 2/5  ó 2:5

En la práctica es igual que una división o una fracción pero con otros nombres...

En una división 2:5 al dos se le llama dividendo y al cinco divisor.

En una fracción 2/5,  al 2 se le llama numerador y al 5 denominador, y se lee "dos quintos".

En una razón 2:5 ó 2/5, al 2 se le llama antecedente y al 5 consecuente  y se lee “dos es a cinco”.

Proporción.

Es la igualdad de dos razones.

Por ejemplo:

7/5 = 14/10

En la práctica son dos fracciones equivalentes. Se leería “siete es a cinco como catorce es a diez”

En ella se tiene que cumplir que…

7·10=5·14 … “el producto de los medios (5·14) tiene que ser igual al producto de los extremos (7·10).

Al resultado de la división de 7 entre 5, o 14 entre 10, se le llama “constante de proporcionalidad” y en este caso es de 1,4.

CÁLCULO DE LA CUARTA PROPORCIONAL.

4/x =12/15

12·x=4·15

12x=60

12x/12=60/12

x=5

CÁLCULO DE LA MEDIA PROPORCIONAL.

x/9 =4/x

x·x =9·4

x²=36

√x²=√36

x=±6

Magnitud.

Las magnitudes son las características de un objeto que puedan medirse (o contarse). Por ejemplo: peso, volumen, longitud, tiempo, velocidad, temperatura…

Todas se miden con instrumentos apropiados y los resultados se expresan en las unidades de medida específicas de esa magnitud. De todas ellas tenemos unidades e instrumentos de medida. Por ejemplo para el tiempo tenemos cronómetros, relojes… y tenemos unidades como la hora, el minuto, el segundo, etc…

No serían magnitudes la belleza, la utilidad, la comodidad,etc…

Las magnitudes se relacionan entre sí de dos formas:

DIRECTA: Si voy a comprar nueces a 2€/Kg, si me llevo el doble de nueces me costará el doble, y si me llevo la mitad me costará la mitad.

INVERSA: Si 10 obreros tardan 4 meses en hacer una obra, el doble de obreros tardarían la mitad y la mitad de obreros tardarían el doble.

Medida:

Medir es comparar una característica de un objeto con una unidad o patrón.

Cuando decimos en una persona pesa 70Kg, queremos decir que su peso es setenta veces mayor que el peso de 1Kg.

Para expresar una medida debemos utilizar un número o valor (70) y una unidad  o patrón de medida (Kg).

Son ejemplos de medida: 5 metros, 10 minutos, 40 grados centígrados, 100 km/h…

APLICACIONES DE LA PROPORCIONALIDAD:

a)      REGLA DE TRES

b)      TANTOS POR CIENTO

c)       INTERÉS BANCARIO

d)      REPARTOS PROPORCIONALES

PROPORCIONALIDAD DE MAGNITUDES

Vamos a ver un vídeo que te explica algunos conceptos importantes para aprender los que llamamos PROPORCIONALIDAD.

INICIACIÓN A LOS TANTOS POR CIENTO

Cuando decimos que el 65% del peso del cuerpo humano (aproximadamente) es agua, queremos decir que si la persona pesa 100 kilos, unos 65kilos correspondería al agua y los 35 kilos restantes al resto de componentes del cuerpo.

Cuando decimos el un equipo de baloncesto tiene un 80% de acierto en los tiros libres es que si tirara 100 veces acertaría 80, pero de igual manera...
- si tirara 10 veces... acertaría 8
- si tirara 20 veces... acertaría 16
- si tirara 50 veces acertaría 40
- si tirara 200 veces acertaría 160
....

Vamos a ver dos formas de calcular el % de una cantidad.
Por ejemplo vamos a calcular el 20% de 300.

a) Como una fracción.
El 20% equivale a la fracción 20/100, por lo que...
20% de 300 = 20·300/100 = 60

b) Como un número decimal.
El 20% equivale a la fracción 20/100 que a su vez es el número 0,20, por lo que...
20% de 300 = 0,20 · 300 = 60

A continuación tienes unos ejercicios sencillos de cálculo y resolución de problemas mediante tantos por ciento:

Vamos a estudiar cinco tipos de problemas…

a)      Calculo del resultado

Tengo 600€ y he gastado el 30% en una bicicleta. ¿Cuánto me ha costado la bicicleta?

Calcularíamos el 30% de 600€ …

600 : 100 · 30 = 180

O también:
600 · 0.30 = 180

Respuesta: Me ha costado 180€

b)      Calculo del %

Tengo 600€ y me he gastado 180€ en una bicicleta. ¿Qué % supone ese gasto?

Formaríamos la fracción: parte que gasté / dinero total que tenía, y luego...
180/600 = 3/10 = 0,30 = 30/100 = 30%

O también; 
180/600 = x/100

Para que esa igualdad sea cierta…

600·x =180·100

600x=18000

6x=180

6x/6=180/6

x=30

Respuesta: Supone un gasto del 30%

c)       Cálculo del total

Me he gastado 180€ en una bicicleta, lo que supone el 30% del dinero que tengo. ¿Cuánto dinero tenía?

30% del dinero que tengo = 180€

180 : 30 · 100 = 600

Respuesta: Tengo 600€.

O también:
180: 0.30 = 600

Respuesta: Tenía 600€

d)      Disminución porcentual o rebaja.

Al comprar un abrigo de 400€ me han aplicado una rebaja del 25%. ¿Cuánto he tenido que pagar?

100% - 25% de rebaja = 75% de pago

75% de 400€ = 75·400/100 = 300€

Respuesta: Tendré que pagar 300€.

e)      Aumento porcentual o recargo.

Me han puesto una multa de 500€ y por no pagarla en el plazo estipulado me han aplicado una una penalización añadida del 20%. ¿Cuánto tendré que pagar?

100% + 20% de penalización=120%

120% de 500€ = 120·500/100 = 600€

Respuesta: Tendré que pagar 600€.

Una aplicación de los descuentos y recargos los tenemos en las facturas. Aquí tienes un modelo:

Resultados OFERTA RARILLA

He realizado una tabla para contestar a las preguntas que se nos hacía.

Si comparamos "la gran oferta" de este supermercado nos damos cuenta:

- Que el precio de partida de la lata es de 0,75€, es decir 20 céntimos más que en el otro... 

- Qué con la oferta del -50% en la segunda unidad, además de tener que comprar dos nos sale todavía más caro.

- Que con la oferta del -70% si nos sale más barato (6 céntimos), pero necesitamos comprar dos latas, es decir gastar 0,98€ en dos latas vez de gastar 0,55€ en una sola lata.

ESTUDIO DE UNA OFERTA RARILLA...

Hoy he visto esta oferta real en un comercio. Me parece un poco liosa dado que en la oferta aparecen varias cifras, aparecen dos tipos de ofertas, aparecen las cifras en distintos tamaños y colores...
En defintiva, al final no la compré porque no me pareció tan barato.  Pero creo interesante verla con atención.

Me podrías decir...
a) ¿Cuanto me costaría una cerveza?
b) ¿Cuánto me costaría una cerveza con la oferta de la segunda al -50%?
c) ¿Cuánto me costarían dos cervezas con la oferta de la segunda al -50%?
d) ¿Cuánto me costaría una cerveza con la oferta cupón de la segunda al -70%?
e) ¿Cuánto me costarían dos cervezas con la oferta cupón de la segunda al -70%?
f) ¿Cuánto me costarían dos paquetes de cuatro cervezas con la mejor opción?
g) ¿Cuánto me costarían tres cervezas con la mejor opción?
h) ¿Crees que las operaciones están bien calculadas en la oferta?

Luego me ha picado la curiosidad y he visto su precio en otro supermercado...

... ¿Qué piensas después de haber realizado todos los cálculos anteriores?

RESULTADOS ESTUDIO COMPARATIVO DE OFERTAS

OFERTAS, OFERTAS, OFERTAS...

Imagina que vamos a una tienda en la que un perfume vale 10€ y nos indican que tienen la siguiente oferta:

"Llévese cuatro y pague tres" , 

es decir, sería lo mismo que...

"De cada cuatro que se lleve no pague uno"

Calcularíamos que:
La fracción sería 10/40 = 1/4 = 0.25 = 25% de rebaja;

eso sí, para que nos hagan la rebaja 
tendríamos que comprar cuatro perfumes

Otro día, en esa misma tienda nos dan hasta nueve posibilidades de oferta para acogernos...

Calcula qué tanto por ciento de oferta real te está ofreciendo cada una de ellas para que puedas compararlas.

Para ello te propongo que trabajes con el cuaderno apaisado y que utilices la siguiente tabla:

Magnitudes

	Magnitud	Instrumentos de medida	Unidades de medida
1	La temperatura. Mide lo caliente o frío que está un objeto	Termómetros	Grados Celsius (º C) Grados Kelvin (º K)
2	La longitud. Mide el largo, o el ancho, o el alto de un objeto o la distancias que hay entre dos puntos.	Regla, flexómetro, cinta métrica, cuenta kilómetros, calibrador,…	Km  Hm  Dam  m  dm  cm  mm
3	El área. Se trata de la superficie acotada de un recinto.	Regla, flexómetro, cinta métrica, cuenta kilómetros, calibrador,…	Km2  Hm2  Dam2  m2  dm2  cm2  mm2
4	El volumen. Es el espacio tridimensional ocupado por un cuerpo específico, mensurable en centímetros cúbicos (cm3).	Regla, flexómetro, cinta métrica, cuenta kilómetros, calibrador,…	Km3  Hm3  Dam3  m3  dm3  cm3  mm3
5	La capacidad. Mide lo que cabe dentro de un recipiente.	Jarras medidoras, probetas, pipetas, buretas, jeringas, etc…	Kl   Hl  Dal  l  dl  cl  ml
5	La masa. La cantidad de materia que contiene un objeto se mide como un valor fijo a través del sistema métrico o anglosajón de unidades: gramo, kilogramo, tonelada, libra, etc.	Balanza, báscula (las hay de muchos tipos).	Tm   Qm   Mag   Kg   Hg   Dag   g   dg   cg   mg
4	El tiempo. Duración de un hecho o situación.	Reloj, cronómetro	Siglo Año  Mes   Día   Hora   Minuto   Segundo…
5	La frecuencia. Mide el número de repeticiones de un fenómeno o suceso periódico por unidad de tiempo transcurrido.	Frecuencímetro	Su unidad son los hercios (Hz), que responden a la formulación 1Hz = 1/s, es decir, una repetición por segundo.

PROBLEMAS RESUELTOS DE MÓVILES

MEZCLAS Y MÓVILES. PROPORCIONALIDAD

Otra de las aplicaciones de la proporcionalidad son los problemas de mezclas y de móviles.
Aquí tenemos unos ejemplos:

1.- Si mezclamos un lingote de 3.500 gr. con un 80% de oro con otro lingote de 1.500 gr. con un 95% de oro ¿ Qué proporción de oro habrá en el lingote resultante?

2.- Si mezclamos 12 litros de vino de 5,40 € el litro con 8 litros. de vino de 7,40 € el litro ¿ Cuál será el precio de la mezcla?

3.- Un coche va a 120 km/h y un camión a 90 km/h.
a) Si el coche sigue al camión a 75 km. de distancia ¿Cuánto tardará en alcanzarlo?
b) Si están a 504 km. y se dirigen uno hacia otro ¿ cuánto tardarán en cruzarse?

4.- Un coche sale de una población a 100 km/h. 10 minutos después sale una moto detrás del coche a 120 km/h ¿ Cuánto tiempo tardará la moto en dar alcance al coche?

Finalmente, incluyo un enlace a un recopilatorio de problemas de proporcionalidad como actividad de ampliación: PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN DE PROPORCIONALIDAD

REPARTOS PROPORCIONALES

Una de las aplicaciones de la proporcionalidad son los repartos organizados de forma proporcional a unos datos.
Se nos darán dos situaciones:
REPARTOS DIRECTAMENTE PROPORCIONALES. Por ejemplo:
- Las familias suelen repartir la paga semanal a los hijos/as en función de la edad que tienen, de forma que los mayores reciben más dinero que los pequeños.
- Varios socios montan una empresa de forma que cada uno participa con la cantidad que pueden. A la hora de repartir los beneficios cada uno recibirá cantidades en función del dinero aportado.
REPARTOS INVERSAMENTE PROPORCIONALES. Por ejemplo.
c) En una carrera deciden repartirse los premios en función del tiempo empleado, de manera que reciben más dinero los que menos tiempo emplean en llegar a la meta.
d) En una familia tres hermanos participan en los gastos aportando dinero de forma que entregarán más dinero los mayores.

Veamos cómo se realiza cada uno:

a) Un abuelo reparte 600€ entre sus tres nietos de 4, 10 y 16 años de edad; proporcionalmente a sus edades. ¿Cuánto corresponde a cada uno?

Es el caso de un reparto proporcional directo.

Sumamos 4+10+16 = 30

Después calculamos:

4/30 de 600€=80€ al pequeño

10/30 de 600€=200€ al mediano

16/30 de 600€=320€ al mayor

a) Una familia quiere ayudar a sus tres hijos aportándoles 980€ para sacarse el carnet de conducir, pero dando un poco más a los que menos edad tienen; es decir de forma inversamente proporcional a las edades que tienen 18, 24 y 30 años. ¿Cuánto se dará a cada uno?

Es el caso de un reparto proporcional inverso.

Primero expresamos el inverso de sus edades 1/18, 1/24 y 1/30.

Luego las reducimos a común denominador:

1/18 = 20/360    1/24 = 15/360    1/30 = 12/360

Luego hacemos un reparto directamente proporcional a los numeradores 20, 15 y 12.

20+15+12 = 49

20/49 de 980€ = 580€ al pequeño

15/49 de 980€ = 300€ al mediano

12/49 de 980€ = 240€ al mayor