APUNTES DE GEOMETRÍA
1. Poliedro
2. Prisma
3. Poliedros Regulares
4. Buckminsterfullereno o Fullereno C60
5. Pirámide
6. Triángulo
7. Teorema De Euler
8. Teorema de Pitágoras
9. Formula De Herón
1. Poliedro
Porción de espacio limitada por polígonos planos. Sus elementos característicos son las caras, las aristas y los vértices:
Las caras son los polígonos que la limitan.
Las aristas son los lados de las caras, y limitan dos caras contiguas.
Los vértices son los de las caras. En cada vértice de un poliedro concurren tres o más caras.
Un poliedro se llama convexo si todo él está en el mismo semiespacio respecto al
Poliedro cóncavo es el que tiene alguna cara cuyo plano atraviesa
Poliedro simple es el que no tiene orificios que lo atraviesen. En todo poliedro simple se cumple el teorema de Euler
2. Prisma
Poliedro limitado por dos polígonos iguales, llamados bases, situados en planos paralelos, y por varios paralelogramos, llamados caras laterales.
Se llama
Un prisma se llama triangular, cuadrangular, pentagonal… según que sus bases sean triángulos, cuadriláteros, pentágonos…
Un prisma recto es el que tiene sus caras laterales perpendiculares a las bases:
En el prisma recto, las caras laterales son todas ellas rectángulos. Si sus bases son polígonos regulares, el prisma se llama regular.
Un prisma oblicuo es el que tiene sus aristas laterales oblicuas a los planos de las bases.
Los prismas cuyas bases son paralelogramos se llaman paralelepípedos. En un paralelepípedo, sus seis caras son paralelogramos.
Se llama área lateral de un prisma al área de todas sus caras laterales. El área lateral de un prisma recto es:
Alat = perímetro de la base · altura
El área total es la suma del área lateral con las áreas de las bases:
Atot = área lateral + 2 · área de la base
El volumen de un prisma cualquiera es igual al área de la base por la altura:
V = área de la base · altura
Cada uno de los dos cuerpos geométricos que se obtienen al partir un prisma por un plano que corta a todas sus aristas laterales se llama tronco de prisma.
Un poliedro regular es aquel cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cada uno de sus vértices concurren el mismo número de caras. Sólo existen cinco tipos de poliedros regulares:
Tetraedro regular:
Cubo: 6 caras cuadradas, que concurren tres en cada vértice. Tiene
Octaedro: 8 caras triangulares, que concurren cuatro en cada vértice. Tiene 6 vértices y 12 aristas.
Dodecaedro: 12 caras pentagonales regulares, que concurren tres en cada vértice. Tiene
Icosaedro: 20 caras triangulares, que concurren cinco en cada vértice. Tiene 12 vértices y 30 aristas
Dos poliedros regulares se llaman conjugados si cada uno de ellos se obtiene del otro uniendo mediante segmentos los
Tetraedro
Poliedro con cuatro caras que, necesariamente, han de ser triángulos. Es, por tanto, una pirámide triangular:
Si las cuatro caras de un tetraedro son triángulos equiláteros, entonces se llama tetraedro regular y es uno de los cinco poliedros regulares. Habitualmente, al hablar del tetraedro se hace referencia al tetraedro regular.
El área de un tetraedro regular en función de su arista es:
A=
Su volumen es:
V =
Cubo
Poliedro regular formado por seis caras cuadradas.
El cubo es un ortoedro (sus caras son perpendiculares) con todas las aristas iguales.
El área total de un cubo de arista a es
A = 6a2
Su volumen es
V = a3
La longitud de su diagonal es: D= a Ö 3
El cubo se llama también hexaedro regular o, simplemente, hexaedro.
Octaedro
Poliedro de ocho caras. Se suele designar genéricamente así al octaedro regular, poliedro formado por ocho triángulos equiláteros idénticos:
El área de las caras de un octaedro en función de su arista, a, es:
A= 2a2 Ö 3
Su volumen es:
V = a3/3
Dodecaedro
Poliedro regular formado por doce caras pentagonales:
El área de un dodecaedro de arista a es:
V = a3(15 + 7)/4
Icosaedro
Poliedro regular formado por veinte caras triangulares:
El área de un icosaedro es:
Su volumen es:
V = 5a3(3 + )/12
4. Buckminsterfullereno o Fullereno C60
Una forma natural o alotrópica del carbono. Durante muchos años se pensó que el elemento carbono existía en dos formas alotrópicas (o distribuciones distintas de los átomos), el diamante y el grafito. El diamante es un sólido en el que cada átomo de carbono se une a otros cuatro, y esta distribución se extiende por todo el cristal dando lugar a un sólido rígido y duro. En el grafito, los átomos de carbono se unen formando
El buckminsterfullereno, la forma alotrópica más conocida del grupo de los fullerenos, consiste en 60 átomos de carbono unidos para formar una molécula C60 de hexágonos y pentágonos dispuestos en forma
Originalmente se preparaba el buckminsterfullereno en un haz molecular y sólo podían conseguirse pequeñas cantidades. Sin embargo, pronto se vio que podían obtenerse grandes cantidades de moléculas en un arco eléctrico entre dos electrodos de carbono en atmósfera de helio. Actualmente se sabe que es probable que el buckminsterfullereno se forme en llamas tiznadas, y existe incluso la posibilidad de que abunde en el Universo, particularmente
Cuando los fullerenos empezaron a ser abundantes, los químicos comenzaron a
5. Pirámide
Poliedro limitado por una base, que es un polígono cualquiera, y varias caras laterales, que son triángulos con un vértice común llamado vértice de la pirámide.
Una pirámide es regular si su base es un polígono regular y el vértice se proyecta (cae perpendicularmente) sobre el
El área lateral de una pirámide regular (suma de las áreas de las caras laterales) es:
y el área total:
Atot = Alat + Abase
El volumen de una pirámide es la tercera parte del producto del área de la base por la altura:
Tronco De Pirámide
Un tronco de pirámide es el poliedro comprendido entre la base de la pirámide y un plano que corta a todas las aristas laterales.
Si el plano es paralelo al plano de la base se dice que el tronco es de bases paralelas. La distancia entre las bases es la altura del tronco. Un tronco de bases paralelas de una pirámide regular está formado por dos bases, polígonos regulares semejantes, y varias caras laterales que son trapecios isósceles. Las alturas de estos trapecios se llaman apotemas de estos troncos.
El área lateral de un tronco de pirámide de bases paralelas es:
Alat = semisuma de los perímetros de las bases · apotema
El volumen de un tronco de pirámide, cuyas bases son paralelas y tienen superficies B y B’, y cuya altura es h, se obtiene mediante la fórmula siguiente:
6. Triángulo
Polígono de tres lados. Según la longitud de sus lados, los triángulos se clasifican en equiláteros, si sus tres lados son iguales, isósceles, si tienen dos lados iguales, y escálenos, si los tres lados son distintos.
La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º. Dos de los ángulos son, necesariamente, agudos. El tercero puede ser también agudo, o
Triángulos Rectángulos
Los triángulos rectángulos cumplen una serie de relaciones métricas importantes entre sus lados.
Los lados de un triángulo rectángulo que forman el ángulo recto,
a2 = b2 + c2
Otra relación importante que se cumple en un triángulo rectángulo es el teorema del cateto: el cuadrado de cada cateto es igual al
c2 = a · m, b2 = a · n
Alturas De Un Triángulo Se llama base de un triángulo a cualquiera de sus lados. El segmento perpendicular desde un vértice a la base opuesta o a su prolongación se llama altura. Un triángulo tiene, pues, tres bases a, b, c, y las tres alturas correspondientes, ha, hb y hc.
En un triángulo rectángulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de los dos segmentos en que la divide:
h2 = m · n
Esta relación se conoce como teorema de la altura.
Las tres alturas de un triángulo (o sus prolongaciones) se cortan en un punto llamado ortocentro. Si el triángulo es acutángulo, el ortocentro es interior al triángulo.
En un triángulo rectángulo, cada cateto puede ser considerado como base y como altura. El ortocentro es, por tanto, el vértice del ángulo recto. Si el triángulo es obtusángulo el ortocentro se obtiene, prolongando las alturas, fuera del triángulo.
Medianas De Un Triángulo Se llama mediana de un triángulo a cada uno de los tres segmentos que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto que se llama baricentro.
El baricentro corta a cada mediana en dos segmentos, uno de ellos la mitad del otro:
Circunferencia Inscrita
Las bisectrices de los tres ángulos de un triángulo se cortan en un punto que se llama incentro porque es el centro de la circunferencia inscrita que es tangente a los tres lados del triángulo. Ésta es la mayor circunferencia contenida en el triángulo.
Circunferencias Exinscritas
La bisectriz interior de un ángulo se corta con las dos bisectrices exteriores de los otros dos ángulos en un punto llamado exincentro, y que es centro de una circunferencia (exinscrita) tangente a un lado y a la prolongación de los otros dos.
Un triángulo tiene, pues, tres circunferencias exinscritas.
Circunferencia Circunscrita
Las mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro porque es centro de la circunferencia circunscrita que pasa por los tres vértices del triángulo. Esta es la menor circunferencia que contiene al triángulo.
Área De Un Triángulo
El área de un triángulo de lados a, b, c, y alturas correspondientes ha, hb y hc es:
A = (1/2)a · ha = (1/2)b · hb = (1/2)c · hc
Si se conocen las longitudes de los tres lados, a, b, c, el área se puede calcular mediante la siguiente fórmula, llamada fórmula de Herón:
en donde p = (a + b + c)/2 es el semiperímetro del triángulo.
7. Teorema De Euler
Teorema que relaciona el número de caras, vértices y aristas de un poliedro simple (sin orificios) cualquiera.
Establece lo siguiente: en un poliedro simple, el número de caras, C, más el número de vértices, V, es igual al número de aristas, A, más dos. Es decir:
C + V = A + 2
8. Teorema de Pitágoras
Teorema que relaciona los tres lados de un triángulo rectángulo, y que establece que el cuadrado del lado mayor (hipotenusa) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (catetos).
El teorema de Pitágoras permite calcular uno de los lados de un triángulo rectángulo si se conocen los otros dos. Así, permite calcular la hipotenusa a partir de los dos catetos:
o bien, calcular un cateto conocidos la hipotenusa y el otro cateto:
Fórmula que sirve para calcular el área, A, de un triángulo en función de sus lados, a, b, c:
siendo p el semiperímetro: p = (a + b + c)/2.
Por ejemplo, si los lados de un triángulo miden a = 7 cm, b = 11 cm, c = 8 cm, entonces el semiperímetro es p = (7 + 11 + 8)/2 = 13 cm y su área es:
Autor:Frank Alejandro Zapata Mesa
