DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES.
Diremos que doce es múltiplo de tres, y por tanto, tres es divisor de doce.
La divisibilidad entre dos números es una relación que aparece cuando se divide uno entre otro y el resto es cero (la división es exacta). En ese caso, al mayor le llamaremos "múltiplo" y al menor le llamaremos "divisor".
Ejemplo:
MÚLTIPLO.
Un número es múltiplo de otro cuando lo contiene un numero exacto de veces.
Ejemplo:
- 10 es múltiplo de 2 porque lo contiene cinco veces justas. Se expresaría 10 = 5.
- 9 no es múltiplo de 4 porque no lo contiene justamente ( lo contiene dos veces, pero sobra una unidad).
Se expresaría 9 ¹ 4.
MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO.
Cualquier numero tiene infinitos múltiplos.
El cero es múltiplo de todos los números.
Los múltiplos son siempre iguales o mayores que el número (si se excluye el 0).
Ejemplo:
3 = {0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,...... ¥}
DIVISOR.
Un número es divisor de otro cuando hacemos la división y ésta es exacta.
Ejemplo:
el 7 es divisor del 56, ya que 56: 7 = 8 y el resto es 0.
DIVISORES DE UN NÚMERO.
Todo número tiene siempre dos divisores: el uno y él mismo.
Los divisores son siempre iguales o menores que el número.
Los divisores de un número, por ejemplo el 60, se calculan así:
1 · 16, 2·30, 3·20, 4·15, 5·12, 6·10, y como en el 10·6 ya se repiten los divisores, tachamos y paramos. El 60 tiene en total doce divisores y se escribe así:
div (60) = {1,2,3,4,5,6,1012,15,20,30,60}
NOTA: Entre los múltiplos y los divisores hay una mutua correspondencia.
Así, si 15 es múltiplo de 3, entonces 3 es divisor de 15.
NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS.
Los números primos son aquellos que sólo tienen dos divisores (ÉL MISMO Y LA UNIDAD ).
El resto (los que tienen mas de dos divisores) los llamaremos compuestos.
Ejemplo:
- el número 17 es primo, ya que sólo lo podemos dividir entre 1 y entre 17.
- el número 60 es compuesto ya que tiene mas de dos divisores (como hemos visto)
El numero 1 no se considera ni primo ni compuesto.
CRIBA DE ERASTÓTENES.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD.
- Un número es divisible entre dos, si la cifra de las unidades es 0,2,4,6 u 8.
- Un número es divisible entre tres ,si la suma de sus cifras es múltiplo de tres.
- Un número es divisible entre cinco, si la cifra de las unidades es 0 ó 5.
- Un número es divisible entre once si:
a) sumamos las cifras que ocupan lugar par.
a) sumamos las cifras que ocupan lugar impar.
b) restamos los resultados y nos da 0, 11, 22, 33, 44...
- Para saber si un número es divisible entre siete, trece, diecisiete, diecinueve, veintitrés..., utilizamos sus criterios o tenemos que hacer la división y ver si es exacta (el resto es 0).
DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN PRODUCTO DE FACTORES PRIMOS.
Descomponer un número en producto de factores primos es escribir el número como una multiplicación de números que son primos.
Ejemplo: 60 = 2·2·3·5
Se puede hacer de dos formas:
a) mentalmente:
b) divisiones sucesivas:
Notas:
Los factores primos deben estar ordenados de menor a mayor.
Los números primos no tienen descomposición.
CONCEPTO DE M.C.D.
Es el mayor de los divisores comunes de varios números.
Ejemplo:
div (60) ={1,2,3,4,5,6,1012,15,20,30,60}
div (72) = {1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72}
divisores comunes (60,72) ={1,2,3,4,,6,12,}.
El mayor es el 12, por lo que M.C.D. (60,72) = 12.
CALCULO DEL M.C.D.
Se descomponen los números en producto de factores primos, y luego se multiplican sólo los factores comunes que tengan menor exponente.
Ejemplo:
60 = 2 · 2· 3 · 5 = 22 · 3 · 5
72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 23 · 32
Los factores comunes con menor exponente serían “dos elevado al cuadrado” y “tres”.
M.C.D. (60,72) =22 · 3 = 2·2·3 =12.
CONCEPTO DE m.c.m.
Es el menor de los múltiplos comunes de varios números.
Ejemplo:
4 = {0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,56,60,...... ¥}
5 = {0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,...... ¥}
múltiplos comunes (4,5) ={20,40,60,80,100,.... ¥}.
El menor es el 20 (descontando el cero), por lo que m.c.m. (4,5) = 20.
Nota: el cero siempre se descarta.
CALCULO DEL m.c.m.
Se descomponen los números en producto de factores primos, y luego se multiplican todos los factores comunes y no comunes que tengan mayores exponentes.
Ejemplo:
60 = 2 · 2· 3 · 5 = 22 · 3 · 5
72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 23 · 32
Los factores comunes con mayor exponente serían “dos elevado al cubo” y “tres elevado al cuadrado”; y los no comunes serían “sólo el cinco”.
m.c.m. (60,72) = 23 · 32 · 5 = 2·2·2·3·3·5 =360.
