Los números enteros

NECESIDAD DE LA AMPLIACIÓN DE LOS NÚMEROS NATURALES.

- Expresión de situaciones (temperaturas bajo cero, deber, sótanos, alturas bajo el nivel del mar, etc...

- Resolver el problemas de las restas cuyo minuendo es menor que el sustraendo.

 4

-7

¿

- El conjunto de los números enteros se representa con la letra Z, y esta formado por 

Z = {Z+, 0, Z-}.

- El conjunto de los números naturales (N), está incluido dentro de los números enteros, ya que 

Z+ = N.

VALOR ABSOLUTO.

Es el número entero pero sin su signo.

Se representa entre barras.

Ejemplo:

                                          

NÚMEROS OPUESTOS.

Son aquellos que tienen el mismo valor absoluto pero signos contrarios.

Ejemplos:

op (+3) = -3;          op (-8) = +8;              op[op (- 7) ] = -7

ORDENACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA

- infinito     ... -7   -6   -5   -4   -3   -2   -1   0   +1   +2   +3   +4   +5   +6   +7   +8   .. +infinito

 - El valor de los números enteros aumenta de izquierda a derecha y viceversa. Por tanto:

- El menor número negativo es - infinito

- El mayor número negativo es -1.

- El menor número positivo es +1.

- El mayor número positivo es + infinito

OPERACIONES:

a) En las sumas y las restas 
- Simplificaremos la escritura eliminando los paréntesis
- luego tacharemos si se puede, 
- a continuación asociaremos los del mismo signo 
- y por último veremos quien gana.

b) En las multiplicaciones y divisiones deberemos hacer una doble tarea, primero con los signos y después con los números.
Debemos respetar la "regla de los signos":

+   *   + = +

   -   *  -  =   + 

   +   *   -  =   -  

  -   *  +  =   -

Recuerda que;

* si tenemos que multiplicar muchos números a la vez podemos utilizar un truquillo: contamos sólo los signos negativos y si el resultado es par dará positivo y si da impar dará negativo. 

Ejemplo:

(-2) · (+5) · (-1) · (-10) · (+3) · (-4) =
Como hay cuatro signos negativos y cuatro es par, el resultado final será positivo

(-2) · (+5) · (-1) · (-10) · (+3) · (-4) = + 1200

* Si la división de los números no es exacta, sólo dividiremos los signos y expresaremos el número en forma de fracción.

Ejemplo:      

(-15) : (+7) =  - 15/7

c) Operaciones con paréntesis.

- Si delante del paréntesis hay un signo “+”, lo vaciamos y sólo escribimos el contenido del paréntesis. Ejemplo:   

-5 + (-7 +1 -4) -8 =   -5 -7 +1 -4 -8

- Si delante del paréntesis hay un signo “-”,  transformamos la resta en suma de los opuestos y en un segundo paso lo vaciamos. Ejemplo:

 -5 - (+7 -6 +9) -8 =   -5 + ( -7 +6 -9 ) -8 =  -5  -7 +6 -9 -8 =

- Si hay un número multiplicando al paréntesis, aplicamos la propiedad distributiva (multiplicando signo y número). Ejemplo:

-3 · ( -4 +6 -8)  =  +12 -18 +24

d) Potencias.

Sólo las potencias que tengan base negativa y exponente impar darán resultado negativo.

Recuerda:

Y, además hay que tener en cuenta que...

e) Raíces.

Si calculas la raíz cuadrada de un número positivo obtendrás dos soluciones opuestas.

Si calculas la raíz cuadrada de un número negativo no obtendrás ninguna solución.

Recuerda:

f) OPERACIONES COMBINADAS.

Debemos seguir un orden (normas de tráfico) en las operaciones:
1º POTENCIAS Y RAÍCES 

2º MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES.

3º SUMAS Y RESTAS.

NOTA:

En la escritura de números enteros se suele simplificar la escritura:

- los números enteros positivos se escriben sin el signo “+”.

   Ejemplo:  +5 = 5

- sólo se emplean los paréntesis cuando son estrictamente necesarios (para que no se juntes dos signos).

   Ejemplo:  -5 · (-7) estaría bien escrito, pero -5 · -7 no, ya que se juntarían el signo “·” y el signo “_”.