Estadística

La Estadística es la ciencia que se encarga del estudio e interpretación de hechos que pueden tener una valoración numérica.

- POBLACIÓN.

Conjunto de objetos o personas que presentan una condición.

Ejemplo: “familias de una ciudad”.

- MUESTRA.

Si la población es excesivamente grande para hacer un estudio se selecciona unos elementos, que son llamados muestra.

Ejemplo: “escogeríamos al azar las familias que tuvieran unos determinados números de vivienda”.

- VARIABLE.

Es la característica de la población que se está estudiando.

En el ejemplo anterior “tener o no televisión en casa”

- RECOGIDA DE DATOS.

Para realizar un estudio estadístico hay que recoger los datos correspondientes a la variable que se estudia, ordenarlos y agruparlos para que puedan ser estudiados con comodidad.

Los datos suelen ordenarse de mayor a menor (la diferencia entre el dato menor y el mayor se llama “recorrido o rango”).

A veces los datos suelen agruparse en “intervalos”.

- RECUENTO DE DATOS.

Una vez ordenados los datos, se procede al recuento, el cual queda recogido en una “tabla de frecuencias”.

FRECUENCIA ABSOLUTA Y RELATIVA. TABLAS DE FRECUENCIA.

- Se llama frecuencia absoluta a las veces que se presenta la variable estudiada en un dato o intervalo.

- Se llama frecuencia relativa a las frecuencias absolutas de un dato o intervalo, divididas entre el número total de datos recogidos en el estudio.

- GRÁFICOS DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS. LECTURA E INTERPRETACIÓN.

   - DIAGRAMA DE BARRAS.

     En estos gráficos las frecuencias se reflejan en las alturas de las barras.       

   - DIAGRAMA DE SECTORES.

     En estos gráficos las frecuencias se reflejan en la amplitud de los ángulos correspondientes a los sectores dentro del círculo.

VALORES CENTRALES:

   -  MEDIA ARITMÉTICA SIMPLE.

      Es la suma de los datos dividido por el número de ellos.

   - MODA.

     Es el dato que presenta una frecuencia mayor.

   - MEDIANA.

      Es el dato que se encuentra justo en medio de las frecuencias (tiene por debajo y por arriba las mismas observaciones).

PLANTILLA PARA LA REALIZACIÓN DE UN

PEQUEÑO ESTUDIO ESTADÍSTICO

1.    Variable:

2.    Población:

3.    Muestra:

4.    Recorrido:

5.    Tabla de frecuencias.

         VARIABLE                   FRECUENCIA ABSOLUTA               VARIABLE · FREC. ABSOL.

VALORES CENTRALES:

A)    MEDIA ARITMÉTICA.             B) MODA:               C: MEDIANA:

    `X = ------- =

REPRESENTACIÓN GRÁFICA:

A) DIAGRAMA DE BARRAS                  B) DIAGRAMA DE SECTORES

CONCLUSIONES:

FUNCIONES

Una función es una correspondencia entre dos magnitudes, de forma que a una cantidad de la primera le corresponde una única de la segunda.

Ejemplo:

Para calcular el precio que pagaríamos en una gasolinera tendríamos la función: f(x) = p ·x, (también se escribe y = p ·x) en donde “p” sería el precio de la gasolina y “x” los litros de gasolina que hemos repostado.

En este caso, el precio que hay que pagar se corresponde siempre con una cantidad de gasolina.

A “x” le llamamos variable independiente, ya que cada cliente echaría los litros que quiere.

A “y” le llamamos variable dependiente, ya que según los litros de gasolina que ponga así tendrá que pagar.

Las funciones se representan con una letra minúscula, generalmente “f”.

Se definen con un criterio.

Ejemplo: la función en que a cada número natural se le hace corresponder su doble sería:

f: N --------------> N

f(x)= 2x ---------> y

y= 2 x

TIPOS DE FUNCIONES:

- CONSTANTE

Es aquella en la que a todo elemento de la variable independiente le corresponde un valor constante de la variable dependiente

  y= 5

- LINEAL.

Es aquella en la que el criterio es multiplicar.

  y = 2x

- AFÍN.

Es aquella en la que el criterio es multiplicar y sumar.

  y = 2x + 1

- CUADRÁTICAS.

Es aquella en la que el criterio tiene forma de ecuación de segundo grado (completa o incompleta).
   y = 2 x^2

- FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA
Es aquella en la que la variable independiente divide a una constante.
    y=5/x

EJES DE COORDENADAS CARTESIANAS.

Sistema de representación formado por dos ejes (rectas númericas) colocados perpendicularmente.

El horizontal llamado eje “x” o “eje de abcisas” y el vertical, llamado eje “y” o “eje de ordenadas”. Estos ejes determinan cuatro cuadrantes.

REPRESENTACIÓN DE PUNTOS.

Cada punto  es la representación gráfica de un par ordenado de coordenadas.

Ejemplo:

P1 (-2,5),  es el punto situado en el corte de segmentos paralelos a los ejes (en el punto -2 del de abcisas, y en el 5 del de ordenadas).

REPRESENTACION DE FUNCIONES.

Para representar una función debemos:

a) Confeccionar una tabla de valores mediante el criterio de la función.

b) Representar los puntos de la función (los pares ordenados de la tabla de valores en los ejes de coordenadas).

c) Unir dichos puntos mediante una línea que será recta o curva según la función de que se trate.

GRAFICAS DE FUNCIONES.

- CONSTANTE,

Su gráfica es una línea recta horizontal que pasa por el punto (0, c).

Si “c” es positiva la gráfica se sitúa entre los cuadrantes 1º y 2º.

Si “c” es negativa la gráfica se sitúa entre los cuadrantes 3º y 4º.

- LINEAL.

Su gráfica es una linea recta que pasa por el  origen de los ejes cartesianos (0,0).

Su inclinación depende de la pendiente (coeficiente de la variable independiente).

Si la pendiente es positiva la graficá se sitúa entre los cuadrantes 1º y 3º.

Si la pendiente es negativa la graficá se sitúa entre los cuadrantes 2º y 4º.

- AFÍN.

Su gráfica es una linea recta que pasa por el  punto (0, b), siendo b el término independiente.

Su inclinación depende de la pendiente (coeficiente de la variable independiente).

Si la pendiente es positiva la graficá se sitúa entre los cuadrantes 1º y 3º.

Si la pendiente es negativa la graficá se sitúa entre los cuadrantes 2º y 4º.

- CUADRÁTICAS.

A)  Tipo y = 2x^2.

Su gráfica es una curva llamada parábola con el vértice en el origen de coordenadas (0,0).

Es más abierta cuanto menor es el valor absoluto del coeficiente de la x  .

Si el coeficiente es positivo se abre hacia el lado positivo del eje “y”.

Si el coeficiente es negativo se abre hacia el lado negativo del eje “y”.

B)  Tipo y = 3x^2  + 1

Su gráfica es una curva llamada parábola con el vértice en el origen de coordenadas (0,1).

Es más abierta cuanto menor es el valor absoluto del coeficiente de la x  .

Si el coeficiente es positivo se abre hacia el lado positivo del eje “y”.

Si el coeficiente es negativo se abre hacia el lado negativo del eje “y”.

- DE PROPORCIONALIDAD INVERSA.
Su gráfica se llama hipérbole.

Aquí tienes una imagen con los distintos tipos:

 

Albert Einstein

Un catorce de marzo, pero de 1879 nació el físico Albert Einstein en Alemania. Murió en 1955 en EEUU.

Fue uno de los científicos más trascendentes del sigo XX. Su gran aportación fue la llamada Teoría de la Relatividad.

Quiero recordarle hoy, a modo de pequeño homenaje, con varias frases suyas sobre la ignorancia, el estudio, los resultados que obtenemos de nuestro trabajo, el aprendizaje, la mediocridad, el pasotismo,  la estupidez, la madurez, el amor y la voluntad.

Leyéndolas vas a encontrar las bases que orientaron el trabajo y la vida de quien fue Premio Nobel de Física en 1921.

·       Todos somos muy ignorantes. Lo que ocurre es que no todos ignoramos las mismas cosas.

·       Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber.

·       Si buscas resultados distintos, no hagas siempre lo mismo.

·       La mente que se abre y crece con una nueva idea jamás volverá a su tamaño original.

·       Los grandes espíritus siempre han encontrado una violenta oposición de parte de mentes mediocres.

·       La vida es muy peligrosa. No por las personas que hacen el mal, sino por las que se sientan a ver lo que pasa.

·       Hay dos cosas infinitas: el Universo y la estupidez humana. Y del Universo no estoy seguro.

·       Comienza a manifestarse la madurez cuando sentimos que nuestra preocupación es mayor por los demás que por nosotros mismos.

·       Vivimos en el mundo cuando amamos. Sólo una vida vivida para los demás merece la pena ser vivida.

·       Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la electricidad y la energía atómica: la voluntad.

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Prioridad en las operaciones

Prioridad de las operaciones

1º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.

2º.Calcular las potencias y raíces.

3º.Efectuar los productos y cocientes.

4º.Realizar las sumas y restas.

Tipos de operaciones combinadas

1. Operaciones combinadas sin paréntesis

1.1 Combinación de sumas y diferencias.

9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 =

Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según aparecen.

= 9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 = 7

1.2 Combinación de sumas, restas y productos.

3 · 2 − 5 + 4 · 3 − 8 + 5 · 2 =

Realizamos primero las multiplicacion por tener mayor prioridad.

= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 =

Efectuamos las sumas y restas.

= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = 15

1.3 Combinación de sumas, restas , productos y divisiones.

10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 16 : 4 =

Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las dos operaciones tienen la misma prioridad.

= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 =

Efectuamos las sumas y restas.

= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = 10

1.4 Combinación de sumas, restas , productos , divisiones y potencias.

23 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 22 − 16 : 4 =

Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad.

= 8 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 4 − 16 : 4 =

Seguimos con los productos y cocientes.

= 8 + 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 16 − 4 =

Efectuamos las sumas y restas.

= 26

2. Operaciones combinadas con paréntesis

(15 − 4) + 3 − (12 − 5 · 2) + (5 + 16 : 4) −5 + (10 − 23) =

Realizamos en primer lugar las operaciones contenidas en ellos.

= (15 − 4) + 3 − (12 − 10) + (5 + 4) − 5 + (10 − 8 )=

Quitamos paréntesis realizando las operaciones.

= 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 2 = 18

3.Operaciones combinadas con paréntesis y corchetes

[15 − (23 − 10 : 2 )] · [5 + (3 · 2 − 4 )] − 3 + (8 − 2 · 3 ) =

Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis.

= [15 − (8 − 5 )] · [5 + (6 − 4 )] − 3 + (8 − 6 ) =

Realizamos las sumas y restas de los paréntesis.

= [15 − 3] · [5 + 2 ] − 3 + 2 =

En vez de poner corchetes pondremos paréntesis directamente:

= (15 − 3) · (5 + 2) − 3 + 2=

Operamos en los paréntesis.

= 12 · 7 − 3 + 2

Multiplicamos.

= 84 − 3 + 2=

Restamos y sumamos.

= 83

Cálculo de la raíz cuadrada

1Si el radicando tiene más de dos cifras, separamos las cifras en grupos de dos empezando por la derecha.

2 Calculamos la raíz cuadrada entera o exacta, del primer grupo de cifras por la izquierda.

¿Qué número elevado al cuadrado da 8?

8 no es un cuadrado perfecto pero está comprendido entre dos cuadrados perfectos: 4 y 9, entonces tomaremos la raíz cuadrada del cuadrado perfecto por defecto: 2, y lo colocamos en la casilla correspondiente.

3El cuadrado de la raíz obtenida se resta al primer grupo de cifras que aparecen en el radicando.

  El cuadrado de 2 es 4, se lo restamos a 8 y obtenemos 4.

4 Detrás del resto colocamos el siguiente grupo de cifras del radicando, separando del número formado la primera cifra a la derecha y dividiendo lo que resta por el doble de la raíz anterior.

Bajamos 92, siendo la cantidad operable del radicando: 492.    

49 : 4 > 9, tomamos como resultado 9.

5 El cociente que se obtenga se coloca detrás del duplo de la raíz, multiplicando el número formado por él, y restándolo a la cantidad operable del radicando.

Si hubiésemos obtenido un valor superior a la a la cantidad operable del radicando, habríamos probado por 8, por 7...hasta encontrar un valor inferior.

6 El cociente obtenido es la segunda cifra de la raíz.

7 Bajamos el siguiente par de cifras y repetimos los pasos anteriores.

Como 5301 > 5125, probamos por 8.

Subimos el 8 a la raíz.

8Prueba de la raíz cuadrada.

Para que el resultado sea correcto, se tiene que cumplir:

Radicando = (Raíz entera)² + Resto

89 225 = 298² + 421

Raíz cuadrada

La radicación es la operación inversa a la potenciación. Y consiste en que dados dos números, llamados radicando e índice, hallar un tercero, llamado raíz, tal que, elevado al índice, sea igual al radicando.

En la raíz cuadrada el índice es 2, aunque en este caso se omite. Consistiría en hallar un número conocido su cuadrado.

La raíz cuadrada de un número, a, es exacta cuando encontramos un número, b, que elevado al cuadrado es igual al radicando: b² = a.

Raíz cuadrada exacta

La raíz cuadrada exacta tiene de resto 0.

Radicando = (Raíz exacta)²

Cuadrados perfectos

Son los números que poseen raíces cuadradas exactas.

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, ...

Raíz cuadrada entera

Si un número no es cuadrado perfecto su raíz es entera.

Radicando = (Raíz entera)² + Resto