Fórmula de Herón

Incorporamos la fórmula del cálculo del área de un triángulo conociendo sus tres lados, conocida como FÓRMULA DE HERÓN y es la siguiente:

Es decir, el área de un triángulo se calcula haciendo la raíz cuadrada del producto del semiperímetro por el resultado de ir restando al semiperímetro cada uno de los tres lados.

El semiperímetro es justamente la mitad del perímetro.

De la misma forma añadimos un vídeo donde se explica el proceso de la aplicación de esta fórmula con agradecimiento a Matemáticas profe Alex.

Finalmente y a modo de comprobación vamos a calcular el área del mismo triángulo de dos formas:
a) Base por altura dividido por dos

Esto seria base (8cm) por altura (6cm) dividido entre dos y nos da... 24cm2

b) Mediante la fórmula de Herón

Si el perímetro es 24cm (6cm+8cm+10cm), entonces el semiperímetro es 12 cm.
Área = raíz cuadrada del semiperímetro 12cm por (12cm-8cm) por (12cm-10cm) por (12cm-6cm)...
es decir la raíz cuadrada de 12cm·4cm·2cm·6cm = raíz cuadrada de 576cm4 = 24cm2

En ambos casos el resultado es el mismo 24cm2

Triángulos de Thales

Hallar los datos que faltan en los triángulos

Ejercicios Semejanza 11-12-2019

Si la razón de semejanza es 1,5, esto supone que:

a) Las longitudes en la caseta grande son 1,5 veces más grandes que en la caseta pequeña.

b) Las áreas o superficies en la caseta grande son 1,5² = 1,5 ·1,5 = 2,25 veces más grandes que en la caseta pequeña.

c) Los volúmenes en la caseta grande son 1,5³ = 1,5 ·1,5 · 1,5 = 3,375 veces más grandes que en la caseta pequeña.

Por tanto…

Cartulina que tiene la grande:     

7,2 dm² · 2.25 = 16,2 dm²

Volumen de la caseta grande: 

6.4 litros · 3.375 = 21,6 litros = 21,6 dm³

a)     La razón de semejanza o escala es 15:30 o 1:2. Es decir que la grande es el doble de la pequeña o al revés, que la pequeña es la mitad de la grande.

Esto significa que sus longitudes son el doble, que las áreas son (2²) cuatro veces más grandes y que los volúmenes son (2³) ocho veces más grandes.

Por tanto…

b)     Si la pequeña tiene 1,40m de profundidad (longitud), la piscina grande tiene el doble: 2,80m.

c)     Si impermeabilizar la pequeña (superficie de las paredes) costó 1650€, la grande costará cuatro veces más: 1650€ · 4 = 6600€.

d)     Si llenar la pequeña (volumen o capacidad) cuesta 235€, entonces llenar la grande costará ocho veces más: 235€ · 8 = 1880€

Tenemos dos triángulos semejantes donde se cumple el Teorema de Thales: sus ángulos son iguales y sus lados proporcionales.

Por tanto:

La altura del edificio dividida entre su sombra tiene que dar lo mismo que la valla entre su sombra.

Formamos la cuarta proporcional que resuelta no da que el edificio mide 78,40 metros.

Como se forman triángulos semejantes cumplen el Teorema de Thales de forma que entre sus alturas y sus sombras hay una relación de proporcionalidad.

Buscamos la razón de semejanza que es 4 : 2,5 que da 1,6. Es decir que a esa hora las sombras eran 1,6 veces más grandes que sus alturas.

Por tanto…

Las alturas de los árboles se calcularán dividiendo sus sombras entre 1,6 y darían como resultado 12/1,6 = 7,5m; 8/1,6 = 5m; 6/1,6 = 3,75m y 4/1,6 = 2,5m.

Para pasar del plano a la realidad multiplicamos la medida tomada en el plano por la escala.

Para pasar de la realidad al plano dividimos la medida real entre la escala.

Por tanto:

a)     2,3 cm · 30000 = 69000 cm = 690 m = 0,69 Km es la distancia a la que está el metro.

b)     1,5km = 1500m = 150000cm

150000 cm : 30000 = 5cm será la distancia a la guardería en el callejero. 

LA ESCALA EN LONGITUD, ÁREA Y VOLUMEN

Así quedó la pizarra después de trabajar en clase el comportamiento de la escala en una dimensión (longitud), en dos dimensiones (área) o en tres dimensiones (volumen).

Las conclusiones han sido que:
- Si una cuerda de 100 cm la representamos a escala 1:2 queda reducida a la mitad, es decir 50cm.

- Si un folio de 21 cm x 30 xm lo representamos a escala 1:2 se reduce a la cuarta parte, es decir a un rectangulo de 10,5cm x 15cm.

- Si un cubo de 8cm de arista lo representamos a escala 1:2 se reduce a la octava parte, es decir a un cubo de arista 4cm.

Por tanto...

a) ¿Sabrías calcular que longitud tendría una longitud de 20 metros cuando se la representa a escala 1:10?

b) ¿Cómo quedaría reducida la superficie de una plaza de 10 metros de ancho por 40 metros de larga cuando se la representa a escala 1:10?

c) ¿Cómo quedaría reducida una torre con forma de prisma cuadrangular de 10 metros de lado de la base y 40 metros de altura cuando se la representa a escala 1:10?

La plaza del Ayuntamiento de Chucena

- Calcula la escala de esta imagen y explica brevemente cómo lo has conseguido.

- ¿Qué forma poligonal tiene? (Ábrela con el programa Paint y colorea su perímetro con líneas rectas de color amarillo).

Toma las medidas que sean necesarias y...
a) Calcula su perímetro expresando el resultado en metros.
b) Calcula el área de la plaza expresando el resultado en metros cuadrados y en hectáreas.

SEMEJANZA

SEMEJANZA.

Figuras semejantes:

Son aquellas que tienen la misma forma pero distinto tamaño.

En ellas se conservan las medidas de los ángulos y las medidas de sus lados serán proporcionales.

Ejemplo:

Es lo que ocurre cuando hacemos una fotocopia ampliada o reducida de una imagen. Reconocemos que es la misma imagen pero con distintos tamaños.

En estas imágenes, si dividimos las medidas de la imagen grande entre las medidas de la imagen pequeña, se obtiene siempre un mismo número que conocemos como   “razón de proporcionalidad”.

A esta razón de proporcionalidad en los mapas o planos (que son representaciones gráficas de la realidad) se le conoce como escala.

Una escala 1:100 nos indica, que una unidad en el mapa se convierte en 100 en la realidad y viceversa.

Una escala 1:33000 nos indica, que una unidad en el mapa se convierte en 33000 en la realidad y viceversa.

Una escala 5:1 nos indica que cinco unidades en el mapa se convierten en una unidad en la realidad o viceversa. Esto es necesario cuando elaboramos una representación de un objeto pequeño (por ejemplo de un insecto).

Conocer la escala de un mapa:

Para saber la escala a la que está elaborado un mapa tenemos que formar una fracción:

Medida en el plano

Medida en la realidad

Luego simplificamos hasta que el numerador se convierta en la unidad. Por ejemplo:

Media en el plano: 25cm

Medida en la realidad: 250 m = 25000 cm

La fracción sería 25/25000 que simplificada quedaría 1/1000, por lo que la escala sería 1:1000, uno en el plano se correspondería con 1000 en la realidad.

Conocer la medida en la realidad:

Si en un mapa la escala es 1:1000 y medimos que la distancia entre dos puntos en ese mapa es de 8 cm, tendríamos que multiplicar 8 x 1000 = 8000 cm, equivalente a 80 metros en la realidad.

Construir una figura semejante a otra:
Podemos utilizar varios métodos y entre ellos vamos a destacar dos:

a)     CUADRÍCULA            

     

 

b)    PROYECCIÓN DESDE UN PUNTO

TEOREMA DE THALES.

Thales de Mileto estudió la semejanza entre triángulos y concluyó que:

"Si en cualquier triángulo trazamos una recta paralela a uno de sus lados se nos forman dos triángulos semejantes; y, en consecuencia, sus ángulos mantienen las mismas medidas y sus lados correspondientes son proporcionales".

Ejercicio de aplicación:

Aplicación a problemas:

a)

Las sombras del suelo mantienen la relación 18/6 que tienen que ser proporcional o equivalente a la relación entre h/4. Calculamos la cuarta proporcional que nos da que h=12 m.

b)

Dividiremos la medida real (180 cm) entre la medida de la imagen para obtener la razón de semejanza o escala.
Posteriormente iremos multiplicando esa razón por las medidas de los otros jugadores más pequeños.

ZONA SOMBREADA VERDE

a)

Averigua la superficie de la zona sombreada de color verde. 

Para ello sigue el procedimiento que se indica en el ejemplo:

b)

DIVISIBILIDAD CON CARTAS

EJERCICIOS RESUELTOS DIVISIBILIDAD

TAREA ABN REPASO DE DIVISIBILIDAD

Con una baraja de cartas española podemos realizar ejercicios de divisibilidad:

DESCOMPOSICIONES EN PRODUCTO DE FACTORES PRIMOS

En la baraja de cartas encontramos números del 1 al 12 

(menos los 8 y los 9)

Entre ellas encontramos los cinco primeros números primos:

(2,3,5,7 y 11).

Podemos jugar con ellos para hacer un repaso de divisibilidad.

Realizar las descomposiciones de los números siguientes:
a) 20              b) 63               c) 420                         d) 605               


CALCULO DEL MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE DOS NÚMEROS

Ejemplo 1. Máximo común divisor de 28 y 42.

Elegimos sólo los comunes con menor exponente

Ejemplo 2. Máximo común divisor de 15 y 28. 

Como no hay comunes, el máximo común divisor es el 1

Recuerda que para el cálculo del M.C.D. de dos números tenemos que descomponerlos en un producto de factores primos y luego "multiplicar SOLO los factores comunes con menores exponentes"

Calcular:
a) MCD (63,420)=                    b) MCD (20,605) =



CÁLCULO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE DOS NÚMEROS:

Ejemplo 1. Mínimo común múltiplo de 140 y 150

Elegimos todos los factores comunes y no comunes con mayores exponentes

Ejemplo 2. Mínimo común múltiplo de 15 y 28.

No hay comunes por lo que elegimos todos los factores 

Recuerda que para el cálculo del m.c.m. de dos números tenemos que descomponerlos en un producto de factores primos y luego "multiplicar TODOS los factores comunes y no comunes con mayores exponentes"

Calcular:
a) mcm (20,605) =                       b) mcm (63,420) =

CÁLCULO DE LA APOTEMA DE UN POLÍGONO REGULAR

La apotema de un polígono regular (ap) es la distancia más corta entre el centro del polígono y uno de sus lados. Ésta puede obtenerse sabiendo el número de lados (N) del polígono y lo que mide cada lado (L).

Sea el ángulo central α el ángulo que forman las dos líneas que unen el centro del polígono (O) y dos vértices consecutivos. Así pues, éste se calcula como:

Mediante la tangente de la mitad del ángulo central y un lado (L), se calcula la apotema (ap) del polígono regular.

Determinar la apotema de un octógono regular cuyos lados miden 3 cm. Como ya sabemos, el número de lados de un octógono es N = 8.

Primero se debe calcular el ángulo central α.

Sabiendo que el ángulo central es de 45º, podemos calcular la apotema.

Como resultado,obtenemos que la apotema de éste octógono regular es de 3,62 cm.

Como ayuda tenemos:
a) una tabla de tangentes

b) Una calculadora de tangente online: