El "Padrenuestro" de las ecuaciones.

Para resolver cualquier ecuación de 1º grado con una incógnita, debemos seguir los pasos siguientes:

1. QUITAR PARÉNTESIS.

- Si delante del paréntesis hay un signo +, sólo escribimos el contenido del paréntesis (lo vaciamos).

- Si delante del paréntesis hay un signo -- , transformamos la resta en suma del opuesto y en un segundo paso vaciamos el contenido del paréntesis.

- Si hay un número multiplicando al paréntesis, aplicamos la propiedad distributiva (multiplicando signo y número).

2. QUITAR DENOMINADORES.

- Todos los términos deben tener denominador (si no lo tienen partirlos por la unidad)

- Si en el numerador hay más de un término, se mete entre paréntesis.

- Utilizamos el m.c.m. de los denominadores.

3. PASAR  INCOGNITAS AL PRIMER MIEMBRO Y CONSTANTES AL SEGUNDO MIEMBRO.

 (lo que ya está en su miembro tiene prioridad y lo que trasponemos pasa con el signo opuesto).

4. OPERAR EN AMBOS MIEMBROS PARA REAGRUPAR.

“Operar para dejar una sola expresión en cada miembro”

5. DESPEJAR LA INCÓGNITA (Dejarla sola y positiva)

Dividiendo ambos miembros por el mismo número (el coeficiente de la incógnita)

6. HACER LA COMPROBACIÓN.

“Sustituimos dentro de la ecuación todas las incógnitas por el valor obtenido, y hacemos las operaciones en su orden correcto para ver si la igualdad se cumple”.

Ficha preparación CONTROL ÁLGEBRA 3-02-2020

Pinchando en el enlace tienes la ficha que planteé para preparar el control de álgebra del lunes, día 3 de febrero de 2020. Está en formato PDF,

FICHA PARA IMPRIMIR

Puedes verla o imprimirla para trabajar más fácil.

Debes realizarla en hojas aparte del cuaderno para entregarlas el lunes junto al control.

Ánimo que os va salir bien.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

LENGUAJE ALGEBRAICO.

Llamado también lenguaje matemático. Supone el uso del código matemático en la expresión de realidades. Usa signos de operaciones, números y letras.

Ejemplo:

“el doble de un número” = 2x ,  “el triple de un número” = 3x, etc...

“el cuádruplo de un número más tres unidades” = 4x + 3

“la mitad de un número” = x/2,  “la tercera parte de un número” = x/3, etc...

“igual, como, es,” se escribirían “=“

“más” se escribiría “+” y “menos” se escribiría  “--”

“la suma de tres números consecutivos” se escribiría “x  +  x+1 + x+2”

IGUALDADES NUMERICAS Y LITERALES.

Una igualdad es una expresión matemática formada por dos miembros unidos por un signo “=“.

Si la igualdad está formada por números se llamará “numérica”, y si está formada por letras y números se denominará “literal”.

En las igualdades numéricas las letras se denominan “incógnitas” (ya que su valor es desconocido o puede variar) y los números “constantes” (ya que su valor es fijo).

IDENTIDADES Y ECUACIONES.

Hay dos tipos de igualdades literales:

a) Identidades. Son aquellas igualdades que se cumplen con cualquier valor de la incógnita

b) Ecuaciones. Son aquellas igualdades que se cumplen únicamente cuando la incógnita toma un determinado valor.

Ejemplos:

 2x = x + x . Es una identidad, se cumple con cualquier valor.

2x = 8. Es una ecuación, ya que sólo se cumple si x = 4.

RESOLUCIONES DE ECUACIONES DE 1º GRADO CON UNA INCOGNITA.

Para resolver cualquier ecuación de 1º grado con una incógnita, debemos seguir los pasos siguientes:

1. QUITAR PARENTESIS.

- Si delante del paréntesis hay un signo +, sólo escribimos el contenido del paréntesis.

- Si delante del paréntesis hay un signo -- , se transforma la resta en suma de los opuestos.

- Si hay un número multiplicando al paréntesis, aplicamos la propiedad distributiva (multiplicando signo y número).

2. QUITAR DENOMINADORES.

- Todos los términos deben tener denominador (si no lo tienen partirlos por la unidad)

- Si en el numerador hay más de un término, se mete entre paréntesis.

- Utilizamos el m.c.m. de los denominadores.

3. PASAR  INCOGNITAS AL PRIMER MIEMBRO Y CONSTANTES AL SEGUNDO MIEMBRO.

 “Lo que ya está en su miembro tiene prioridad y lo que trasponemos le cambiamos el signo”.

4. OPERAR EN AMBOS MIEMBROS PARA REDUCIR.

“Operar para dejar un solo monomio en cada miembro”

5. DESPEJAR LA INCOGNITA.

“Dejarla sola y positiva”

6. HACER LA COMPROBACIÓN.

“Sustituimos dentro de la ecuación todas las incógnitas por el valor obtenido, y hacemos las operaciones para comprobar si se cumple la igualdad”.

Juega a resolver ecuaciones con la ayuda de una balanza pinchando en la imagen.

IGUALDADES NOTABLES

A)    CUADRADO DE UNA SUMA. 

      Es igual al cuadrado el primero, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.      

                                                                                   

(a + b)²  =  a²  +  2 ·a ·b + b²  

pincha en la imagen de abajo para ver una demostración gráfica

B)     CUADRADO DE UNA DIFERENCIA.

     Es igual al cuadrado el primero, menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.       

                                              

(a -  b)²  =  a²  -  2 ·a ·b +   b²  

pincha en la imagen de abajo para ver una demostración gráfica

                                                                     
 

C)    SUMA POR DIFERENCIA ES IGUAL A DIFERENCIA DE CUADRADOS.

(a + b) · (a – b) = a²  -  b²

pincha en la imagen de abajo para ver una demostración gráfica

Matemática con valores | @molinerd

Para reflexionar un poco...

Monomios.

Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número por una o varias letras (que pueden ir elevadas a exponentes naturales).

Al número se le llama coeficiente y a las letras se le llama parte literal

Ejemplo de monomio: .   Coeficiente:   Parte literal:

Grado de una monomio: es el número de factores de la parte literal.
 Ejemplo1: El grado del monomio  es dos. (parte literal x·x).
 Ejemplo2: El grado del monomio -7x³yz⁴ es ocho (parte literal x·x·x·y·z·z·z·z).

Valor numérico de un monomio.
Para calcularlo debemos sustituir la letra por el valor que se indica y hacer las operaciones en el orden correcto.
Ejemplo:
El valor de -3x⁴ para x=-2 se calcularía… -3·(-2)⁴= -3·16 = -48


Monomios semejantes: Se dice que dos monomios son semejantes cuando tengan la misma parte literal.
Ejemplo1: Los monomios y son semejantes.
Ejemplo2: Los monomios y no son semejantes

Operaciones con monomios:

- Para poder sumar y restar monomios tienen que ser semejantes.
Si son semejantes, para sumarlos/restarlos basta con sumar/restar sus coeficientes y conservar la parte literal
Ejemplos:



no son semejantes
no son semejantes

- Producto o multiplicación de monomios
Para multiplicar dos monomios, multiplicamos la parte numérica y la parte literal.
Ejemplos:
Ejemplos:

 2x³ · (-5x⁶) = -10x⁹

 4x³yz² · 7x²y7z⁸ = 28x⁵y²z¹⁰



- Cociente de monomios
Para dividir dos monomios, dividimos la parte numérica y la parte literal.
Ejemplos:
 -15x⁸ : 3x⁵ =-5x<sup>3

Si la división de los coeficientes no es exacta la dejamos indicada como una fracción.</sup>
 7x⁵ : 2x³ =7/2 5x²

Usos del álgebra

Mediante el álgebra:

a) Expresamos propiedades aritméticas que cumplen todos los números.
Por ejemplo "el orden de los sumandos no altera la suma"; es decir 5+3 = 3+5; y como esto se cumple siempre decimos que:

a + b  =  b + a

b) Generalizamos relaciones numéricas.

Por ejemplo, en una sucesión de números podemos generalizar una relación entre números:

¿Podrías encontrar la expresión para completar los cuadros verde y amarillo?

c) Escribimos fórmulas o relaciones entre magnitudes:

Por ejemplo, Pitágoras expresó su teorema que dice que "En cualquier triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de sus dos catetos" y lo resumimos mediante la fórmula: 

Por ejemplo, la velocidad media de un movimiento se calcula dividiendo el desplazamiento (espacio recorrido) entre el tiempo que hemos empleado, y lo resumimos mediante la fórmula:

d) Expresamos cantidades y números desconocidos.

Ejemplos:

- Un número desconocido......................................................... x

- El doble de ese número desconocido ................................. 2·x

- El triple de ese número desconocido ...................................3·x

- La mitad de ese número desconocido ............................... x / 2

- La quinta parte de ese número desconocido ..................... x / 5

- El siguiente de un número desconocido ............................ x+1

- El anterior de un número desconocido ............................. x - 1

- Un numero desconocido más su siguiente ............... x + (x+1)

- Un número desconocido menos su mitad ...................... x- x/2

e) Resolvemos problemas.

Para ello traducimos el problema al "lenguaje algebraico" y buscamos el valor de la letra

- Por ejemplo, en las reglas de tres, mediante el cálculo de la cuarta proporcional averiguamos el valor de la "x".
Un problema sencillo sería:
"He comprado una bicicleta de 600€ y me han hecho un descuento del 25%. ¿Cuánto dinero me ha rebajado?"

Si de 100 ------------------25

de 600 ---------------------x

100/600 = 25/x

100 · x = 25 · 600

100 x = 1500

100x/100 = 1500/100

x= 150€ me han rebajado

- Mediante ecuaciones. Son igualdades algebraicas que sólo se cumplen con un solo valor de la letra.
Un problema muy sencillo sería:

"Averigua el número de forma que si a su doble le sumamos cinco nos de 13"

La ecuación sería 2x+5=13

Esta igualdad solo se cumple cuanto la x vale 4, que es la solución del problema.

Polinomios

POLINOMIOS

Son el resultado de sumar monomios no semejantes. Cada monomio, cada sumando, es un término del polinomio.

Cuando un polinomio consta de dos monomios se denomina binomio; con tres, trinomio y con más de tres se llama polinomio.

" Lo más habitual que nos vamos a encontrar son polinomios con una sola letra, que habitualmente será la x" y a la que llamaremos indeterminada o variable"

Grado de un polinomio: Es el grado del término de mayor grado.

El término de grado cero se denomina término independiente.

Valor numérico de un polinomio: Para calcularlo se sustituyen las indeterminadas por sus valores y se efectúan las operaciones indicadas en el orden correcto (potencias, productos y sumas y restas)

Suma  de polinomios:

Para sumar dos polinomios se opera entre los monomios que sean semejantes.

Resta  de polinomios:

La sustracción de dos polinomios se realiza sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.

En el ejemplo de la imagen el polinomio Q(x) = 3x⁴ - 8x³ + 7x² - 7x + 5 y observamos como sumamos el opuesto, es decir... -Q(x)

Multiplicación y división de polinomios:

Operamos según el ejemplo...

Ejemplo de las operaciones:

Factorización de un polinomio.
Para ello puedes utilizar:
- Los productos notables
- Sacar factor común
- El agrupamiento

Aquí incluyo un enlace a una calculadora que factoriza el polinomio: